Окончил Алтайский государственный университет в 2001 г. по направлению «Менеджмент», выпускник Президентской программы переподготовки кадров в управленческой деятельности.
С 2000 г. работал в ОАО «Барнаульский пивоваренный завод» экономистом, а затем и ведущим экономистом.
В 2006 г. назначен начальником планово-экономического отдела, с 2009 г. занимал должность заместителя генерального директора по финансам и экономике.
В 2014 г. А.А. Рыбников стал генеральным директором ОАО «Барнаульский пивоваренный завод».
Алексей Анатольевич награждён Почётной грамотой Управления Алтайского края по пищевой, перерабатывающей, фармацевтической промышленности и биотехнологиям.
В 2015 г. отмечен Дипломом Губернатора Алтайского края. В 2015 г.
А.А. Рыбникову вручен орден Трудовой славы, а также свидетельство «За безупречную репутацию и профессионализм» социально-экономического проекта «Элита нации».
В 2017 г. он завоевал звание «Топ-менеджер года» и получил почётный знак «За достижения в области качества».